№ 17/17

Филлотаксис – это расположение листьев

Беседа с Дмитрием Львовичем Вейзе, врачом по профессии, кандидатом медицинских наук, началась на симметрологическом семинаре, который обычно проводится в один из последних четвергов каждого месяца в Москве в Институте машиноведения у С.В. Петухова. Затем она продолжилась на Международном симметрологическом конгрессе в Хайфе, а закончилась — в гостях у художников-формалистов на выставке-семинаре «Неизбежность квадрата».

Филлотаксис — это по-латыни. А по-русски — расположение листьев. И представьте, это — раздел целой науки, морфологии растений. Изучает он вещь довольно странную — взаимное расположение листьев, колючек, почек, чешуек и т.п. Вроде, что тут сложного? Ан, нет. Интерес к этому отнюдь не случаен. Он вызван прежде всего тем, что повторяющиеся элементы создают симметричные структуры — паттерны, а в них совершенно четко прослеживаются числовые закономерности.

Несмотря на богатую и длительную историю изучения, филлотаксис мало знаком, а подчас и вовсе неизвестен даже ботаникам и математикам, по крайней мере отечественным, а уж об «обычных» читателях и говорить нечего.

Вот и получается: при современном развитии науки вопросы, поставленные самым простым расположением листьев, остаются без ответа. Парадокс! Скрытая структура частиц микромира раскрыта, а очевидное, красивое, привлекающее внимание соцветие подсолнуха, например его строение, остается неразгаданным.

Но ведь это страшно интересно — почему царит симметрия?

Описание филлотаксиса сродни описанию кристаллов, но там-то как раз — полный порядок, и это более-менее очевидно. В 1837 году братья Огюст и Луи Бравэ опубликовали труды по листорасположению, а через одиннадцать-двенадцать лет появилась фундаментальная работа Огюста по кристаллографии. Кристаллограф Огюст благодаря этой книге стал очень знаменит и считается одним из основателей этой науки. Но если в кристаллографии есть движение и развитие, в филлотаксисе — нет. И все-таки поиски не прекращаются. Разные исследователи смотрят на один предмет с разных точек зрения и, следовательно, ищут различные объяснения.

Например, философы предлагают два подхода к проблеме. Первый — телеологический. Они, а это Леонардо да Винчи, Шарль Бонне, говорят: «Листья располагаются так для того, чтобы лучше освещаться солнцем, омываться дождем, овеваться воздухом».

Другой подход — каузальный. Это происходит потому, что… Среди причин называются спиральная структура ДНК, взаимооттеснение зачатков, взаимодействие силовых линий поля, на пересечениях которых зарождаются листья, и т. п.

Я как раз принадлежу к тем, кто предлагает второй подход, причинный. Для меня важно понять и объяснить, как растения «считают», каким образом в построении узоров повторяющихся элементов — паттернов — они отходят от привычных ожидаемых статистических законов, как переходят в дискретность, опирающуюся на ряд Фибоначчи.

Простая аналогия. Представьте, вы выходите на улицу и встречаете людей ростом только 55 сантиметров, 89, 144 и 223? И никаких других. Разве не странно? Спиральный узор растений удивляет именно этим же. Многочисленные и очень далекие по родству представители флоры дружно являют приверженность ряду чисел Фибоначчи, где, как известно, каждый последующий член равен сумме двух предыдущих:

1 1 2 3 5 8 13 21 34 …

И вот в упорных поисках ответа родилась некая модель. Прежде всего, умозрительная. А потом — аналоговая механическая. Ее математическое описание теперь уже можно назвать конечной целью исследовательского поиска. И еще — можно сильно удивиться: почему это решение не пришло людям в голову раньше, скажем, века на два.

Итак, о филлотаксисе. Если не останавливаться на отдельных наблюдениях ученых глубокой и не очень глубокой древности, методичное, целенаправленное его изучение было начато Шарлем Бонне (1720 — 1793). В его работах впервые появляется образ спирали, впоследствии названной основной генетической спиралью. Вдоль этой-то линии и «садятся» последовательно появляющиеся листья.


Начиная с работ Гофмейстера (1868) и Эйри (1873), в литературе принято рассматривать расположение не столько листьев, сколько их зачатков в верхушке почки, называемых примордиями. Из этих зачатков впоследствии вырастают и листья, и цветочки, и чешуйки, и колючки, и новые побеги.

Чаще всего в природе встречается спиральное, или очередное, листорасположение с одним примордием на узле. Это совершенно разные растения — береза, традесканция, ананас. Верхушки некоторых побегов не удлиняются при появлении новых примордиев, а раздаются в ширину, уплощаются, и… получаются подсолнухи, ромашки…

Кроме спирального, различают супротивное. На узле могут сидеть два листа, один супротив другого — крапива, клен, сирень, поэтому и называется такое расположение супротивным.

Есть еще и мутовчатое, когда число листьев в узле — три и более. Это олеандр, элодея.

Рядом стоящие повторяющиеся элементы паттернов формируют ряды, они хорошо видны. В ботанической литературе они названы красиво — парастихи.

Примордии в парастихе могут быть в контакте, тогда парастиха хорошо различима и заметна. Такие парастихи называются контактными парастихами.

Существуют и так называемые побочные последовательности Фибоначчи. Когда видимые пары семейств парастих не содержат чисел из ряда Фибоначчи, они «берут» их из другой последовательности. Но получается она тем же способом, что и ряд Фибоначчи, правда, с других начальных членов, например, 1 и 3 дают ряд Люка:

1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 …
1 + 3 = 4
3 +4 = 7
4 + 7 = 11
7 + 11 = 18

Если парастихи вращаются в одном направлении относительно оси растения и равномерно с одним и тем же шагом, тогда это — семейство парастих (почти как в хорошем людском семействе!), а два семейства, закрученных в противоположных направлениях, это уже пара семейств парастих.

Именно числа (m, n) контактных парастих в двух противоположно закрученных пересекающихся семействах оказываются числами Фибоначчи! Числа (m, n) служат математическим выражением спирального филлотаксиса. Но что является ключом к пониманию возникновения паттернов на растениях? Посмотрим внимательно.

Количества контактных парастих возрастают по ряду Фибоначчи. Во внутренней части соцветие имеет немного таких различимых парастих. При продвижении к краю соцветия, то есть с увеличением радиуса побега, происходит смена пары семейств парастих, например

(8, 13) на (21, 13), (21, 13) на (21, 34) …

Вот объяснение этого феномена, вот ключ к пониманию. Он называется возрастанием филлотаксиса.

Спиральные структуры в побегах ставят другую проблему — хиральности, то есть проблему существования зеркальных изомеров. Наблюдения показывают, что вращение парастих не имеет закрепленного за семействами направления. Давно отмечено, что среди побегов растений могут быть как лево-, так и правозакрученные.

И значит, у паттернов есть два характеризующих их критерия — число парастих в семействе и направление вращения парастих. Моя модель должна ответить на вопросы: как формируются количественные закономерности в паттернах и в какой момент развития побега и каким образом определяется направление вращения парастих?

Действительно, почему числа спиралей на подсолнухе, а также числа спиралей чешуек на шишках, почек и листьев на ветках так удивительно точно совпадают с числами Фибоначчи? Существующие теории, на мой взгляд, не дают убедительного ответа.

Классик математики Герман Вейль, знакомый с проблемой, опасался, «что современные ботаники относятся ко всему учению о филлотаксисе менее серьезно, чем их предшественники». И потому вряд ли решат проблему. Я взял да и попробовал. И вот что получилось.

В основу своей МОДЕЛИ я положил аналогию примордиев с… мыльными пузырьками.

Движение пузырьков согласуется с механическими законами, принципом минимакса, работающим в природе повсеместно. Что это значит? Применительно к нашему случаю это может звучать так:

«По пути минимального сопротивления прохождение максимального расстояния».

Вот как работает действие этого принципа для растительных паттернов согласно механической модели.

А вот так, если строить математическую модель. Каждое семейство парастих можно представить как набор идентичных архимедовых спиралей. Тогда мы будем иметь центрическую спиральную целочисленную векторную решетку (двумерную решетку называют сеткой). Это длинно звучит, но зато очень наглядно выглядит. Примордии стоят в узлах этой сетки. Они пронумерованы согласно их возрасту, то есть в порядке появления на верхушке стакана-стебля, причем нулевой номер — самый молодой.

Спиральная структура возникает как «рисунок» над субстратом архимедовой спирали, в свою очередь являющейся структурой.

(В соответствий с концепцией Владимира Лефевра!)

Со школьных времен мы привыкли складывать и вычитать прямолинейные векторы по правилу параллелограмма. Оказывается, можно складывать и вычитать целочисленные векторы в согласии с правилом параллелограмма (даже если они криволинейные) на нашей центрической решетке.

Более того, разглядывая примордии последовательно от центра к периферии, можно проследить эволюцию их взаимного расположения. В векторном «параллелограмме - ячейке ABCD примордии A и C удалены друг от друга, их парастиха неконтактная и на поверхностный взгляд незаметна. Примордии B и D, напротив, стоят рядом в хорошо различимой контактной парастихе.

Как только побег удаляется от центра, ситуация меняется. Примордии A и C, вырастая, соприкасаются и дают начало новой суммарной (A'C'=A'B'+A'D') контактной парастихе. Примордии B и D расходятся, контакт между ними разрывается, и парастиха перестает быть контактной.

Вот так «складываются» отношения листьев, почек на одной только ветке.

В результате этого короткого и упрощенного рассказа читатель, думаю, понял, что модель достаточно универсальна и позволяет описать супротивное и мутовчатое листорасположение так же просто, как и спиральное. Если цилиндр достаточно узок и если примордии появляются порциями из двух, трех или большего количества пузырьков, мы наблюдаем супротивный и мутовчатый паттерны. Таким образом, изменяя только два параметра модели: диаметр цилиндра и количество одновременно появляющихся пузырьков, — мы можем сконструировать все типы и разновидности листорасположения!

Верна или не верна гипотеза, работа над нею послужила импульсом к ряду математических исследований в областях, далеких от ботаники.

В завершение же хочется обратить внимание читателя на одно странное на первый взгляд замечание Кеплера, рассуждающего о растительных формах. Объясняя ряд Фибоначчи, он пишет: «Пусть два младших члена будут числами 1 и 1 (ты можешь считать их неравными)…». Что значит «неравными»?!

Мы видим, что на соцветии спиральные парастихи являются геометрическим воплощением ряда Фибоначчи в живой природе. Началу ряда, то есть единице, соответствует основная генетическая спираль (обходящая все примордии с углом дивергенции 360*(1-0,618Е) ~137,5 градусов). Но в той же последовательности эти отростки можно обойти и в противоположном направлении (с углом дивергенции 360*0,618Е ~222,5 градусов, золотое сечение круга). И это, по существу, тоже основная генетическая спираль. Вот вам и ответ. Две спирали различного направления вращения, различной крутизны соответствуют двум первым неравным, по определению Кеплера, единицам ряда Фибоначчи. Каким складом ума надо обладать, чтобы различать в лицо две единицы!

Дмитрий Вейзе

Научный взгляд

  • Звездные карты галактики «Человечество»
    В генетическом плане человеческий вид — континуум, где между расами нет четких границ. Границ нет, но континуум неоднороден, в нем наблюдаются «сгущения родства»: популяции, типы, расы, стволы.
  • Игра в жизнь, или Не сотвори себе микроба
    Кого же призовут к жизни создатели генетического алфавита? Возможно, на свет появятся организмы, готовые питаться радиоактивными отходами, словно травой на лугах. Другие микробы примутся расщеплять молекулы воды, изготавливая водород — источник энергии будущего.
  • Еще один важный шаг
    Израильские исследователи идентифицировали ген, ответственный за одну из неизлечимых наследственных болезней. В сущности, во всем мире ею страдают лишь несколько тысяч человек, однако это открытие явилось еще одним важным шагом на пути постижения генетики человека
  • Немецкие ученые утверждают: теория относительности Эйнштейна лжива!
    Большинство людей убеждены в том, что Альберт Эйнштейн был одним из величайших гениев в истории человечества, а его частная теория относительности явилась одним из крупнейших достижений науки. Неужели теперь всем нам впору «сжечь все, чему мы поклонялись»?
  • Прав ли Эйнштейн?
    Вряд ли какое-нибудь из научных свершений ХХ века можно сравнить по масштабам воздействия не только на ученый мир, но и на «широкие народные массы», с теорией относительности Эйнштейна.
  • Ревизия биологических вех
    Как известно, в ходе биологической эволюции на Земле то и дело происходили перерывы, когда в результате той или иной (климатической, геологической, космической и т.п.) катастрофы погибали многие прежние виды, а освободившиеся жизненные ниши захватывали новые
  • Поведение клетки, слезающей с ветки
    Одна из великих загадок биологии — сложные целенаправленные движения клеток. Клетки путешествуют, изменяют форму, охотятся — порой ведут себя, как «разумные» существа.
  • Давайте подождем, доктор Антинори!
    Доктор Джонатан Хилл из Корнельского университета, который занимается клонированием крупного рогатого скота, говорит, что примерно треть подсаженных в матку эмбрионов отторгается уже на первом месяце.
  • Вечная молодость мозга
    Разумеется, ученые нашли объяснение, почему у ящериц и других примитивных созданий мозг всю жизнь прирастает нейронами, а мы этого прибытка лишены. Каждый наш нейрон со всеми его связями, материализующими опыт, неповторим.
  • Кто бы мог подумать?
    Американские ученые вот уже который год подряд привязывают к серьезной и торжественной стокгольмской процедуре вручения высочайших научных наград свою насмешливую и веселую затею вручения «Иг-Нобелевских» знаков отличия за самые смешные исследования и бесполезные открытия года.
  • Космический мирок микробов
    С помощью генетических манипуляций можно заранее, еще при подготовке к полету, изменить ДНК этих микроорганизмов, приспособив их к марсианскому образу жизни. Со временем, когда климат на Марсе удастся изменить, а бактерии взрыхлят его почву и насытят ее питательными веществами, можно будет выселять на Марс высшие растения.
  • Зеркальные нейроны
    Тот факт, что зеркальные нейроны именно «повторяли» наблюдаемое действие, а не просто возбуждались при его наблюдении, подтвердился, когда экспериментаторы поощряли обезьян проделать то же действие своими руками.
  • «Make love, not war»
    «Наивысшей точкой их интеллектуальной жизни является умение решать конфликты и чуткость в отношениях с близкими».
  • Мы не обезьяны. И обезьяны — не мы
    Человек — венец природы. Это принимается «for granted» и приятно щекочет наше человечье самолюбие. Хотя у тех из нас, кто имеет склонность к сомнениям и самоанализу, нередко возникает вопрос: не льстим ли мы себе?
  • Феномен Пригожина
    Фундаментальные характеристики мироздания, утверждает он — нестабильность, неравновесность, нелинейность, ни к чему простому не сводимая сложность.
  • И все-таки — Африка!
    В давнем и яростном споре «африканистов» и «мультирегионалистов» произошло очередное важное событие.
  • О предках, потомках и друзьях человека
    Рыцарские замки нашей фантазии украшены залами, где взорам гостей предстают блистательные портреты хозяев, а по обе стороны от них тянутся ряды предков, поражающие проблесками фамильного сходства, но уводящие к портретам совсем незнакомым
  • Время прощаться с квазарами
    Некоторые открытия впору назвать «закрытиями». Одно из последних событий в астрономии к таковым и относится. В течение десятилетий астрономы изучали квазары, и вот объект их научной страсти исчез.
  • Наши кремниевые коллеги
    А в одном английском университете города Абериствит пошли еще дальше и объявили о создании первого робота-микробиолога. Робот осуществляет эксперименты, разработанные программой ASE-Progol на компьютере в Йоркском университете.
  • Апокалипсиса не будет?
    На Западе защитники окружающей среды и антиглобалисты своими поступками часто напоминают тени знакомого прошлого — русских социалистов ХIХ века. Живя в благополучном обществе, они всячески расшатывают его из сочувствия к «падшим и угнетенным».
  • Как человек сам себя сотворил
    Современный человек — создание во всех отношениях необычное. Оказывается, еще и тем, что генетические различия между всеми людьми Земли ничтожны. Чего не скажешь о внешности — наверное, нет в природе еще одного такого же пестрого вида! Что же сделало возможным такое разнообразие?
  • Химия и жизнь: опасные связи
    В древности основным материалом было дерево; еще и сейчас запах деревянного дома кажется нам «удивительно здоровым». Теперь мы выбираем пластик, прессованные плиты, лаки и краски с их неповторимо резким запахом и надписью на этикетке: «Следует избегать попадания в пищу». А в дыхательные пути?
  • Могущественная крупица
    В известном смысле можно сказать, что гомеопатия лечит ядами, однако берутся они в таких микродозах, что само вещество уже почти не присутствует в растворе. На уровне десятого — двенадцатого разведения исходная субстанция практически отсутствует.
  • Запишите на ваши водофоны!
    Вода не похожа на другие жидкости. Возможно, она обладает памятью! Быть может, в таинственных свойствах воды коренится загадка гомеопатии?
  • Между чумой и эболой
    Болезнь, вызвавшая Черную смерть, бушевала в Европе в течение 300 лет, до 1666 года. За это время вспышки болезни наблюдались в самых отдаленных местах континента почти каждый год.
  • Возбудить ось сверхсознания
    Внушение, зомбирование, программирование поведения требуют измененных состояний сознания. Одна из дверей, ведущих туда, — психоактивные вещества, наркотические снадобья. Но далеко не единственная.
  • Конец прекрасной эпохи?
    Фундаментальная загадка, о которой упоминалось вначале, связана с движением галактик. Эти огромные звездные скопления демонстрируют явные отклонения от законов движения Ньютона.
  • Петербургский десант
    Семиотика — наука о знаках и знаковых системах — давно стала для гуманитарных наук «всем», она помогает навести порядок в изобилии фактов и фактиков.
  • Зигфрид и лесные врачи
    Изучение животных долго сводилось к их изгнанию из естественной среды обитания и последующему наблюдению за ними в неволе. Когда же ученые вошли в глубь леса, в племя обезьян, им предстала чужая — нечеловеческая — культура.
  • Чем человек отличается от обезьяны
    Чем генетически отличается человек от обезьяны и как это отличие возникло — скачком, благодаря нескольким считанным и резким мутациям, или постепенно, посредством накопления многочисленных мелких мутационных изменений?
  • Вторая жизнь генома: от структуры к функции
    Уотсон и Крик в апрельском номере журнала «Nature» за 1953 год сообщили о трехмерной структуре ДНК. Это было официальным началом современной молекулярной биологии, ее мощным стартом.
  • Большой климатический спор
    Вечна ли вечная мерзлота? В чем особенность вечномерзлых пород? Она заключается в том, что из-за наличия в них льда характер грунтов резко меняется при изменении температуры.
  • Новая напасть
    Со времени отказа США участвовать в «Киотском протоколе» — международном договоре о сокращении количества «тепличных» газов, выбрасываемых в атмосферу, — борьба вокруг вопроса о возможных последствиях такого выброса стала еще острее, чем прежде.
  • Селектроны, струны и симметрия
    Когда сложность и запутанность физической картины мироздания стали нетерпимыми, ученые ХХ века предприняли беспрецедентные попытки ее упорядочивания.
  • Левый-правый мозг
    В отличие от краба, человек предпочитает работать не клешнями, а мозгом — который и приобретает у нас наибольшую асимметрию. Причем она неодинакова у разных отделов мозга — и тем выше, чем более «человеческую» функцию этот отдел выполняет.
  • Опасности года 2020
    Какое же будущее ждет нас, обреченных болеть и в 2020 году? Его попытались очертить Кристофер Мюррей из Гарвардского университета и Алан Лопес, представитель Всемирной организации здравоохранения (ВОЗ).
  • Миры в столкновениях, века в хаосе
    На что же замахивался Великовский своей теорией столкновений? В 1955 году он опубликовал свою третью книгу — «Земля в конвульсиях», — в которой развернуто изложил свои общенаучные взгляды.
  • Обесславленные науки возвращаются в новом обличье
    Френология, или наука о черепах была создана кипуче талантливым человеком, двоюродным братом Дарвина Франсисом Гальтоном. Он утверждал, что все наши качества поддаются количественному описанию, и разъезжал по всей Англии, измеряя людям черепа.
  • Игры всерьез и понарошку на поле любви и секса
    Вообще-то это не удивительно: размножение, продолжение рода — главное, ради чего природа производит нас на свет. Удивительно другое: как ярко и с каким разнообразием игровое начало проявляет себя на поле любви и секса.
  • Пришел, пометил, победил. Вокруг да около секса
    Всего важнее репродуктивное поведение, обеспечивающее виду само существование. Оно отнюдь не ограничивается сексом. Нужны еще три компонента: поиск брачного партнера, ухаживание и забота о потомстве. Как они выглядят у человека?
  • В постели с человеком
    Вопреки известной пословице, далеко не все, что естественно, не безобразно. Например, секс — несмотря на явный потенциал удовольствия, он считается весьма и весьма «безобразным». Почему? Поищем ответ в недрах эволюции культуры и поведения.
  • Запах теплых отношений
    Особые вещества — одоранты — вызывают различные эмоции, от ярости до наслаждения, а феромоны могут даже управлять работой организма, влияя на тонус нервной системы, баланс гормонов, циклические процессы.
  • Этос — значит «дикий нрав»
    Сегодня этологией называют любые исследования поведения. Похоже, споры между разными направлениями в этой области становятся достоянием истории. Но так было не всегда.
  • Кратчайшая история космоса
    В предельно кратком изложении они сводятся к утверждению, что существует бесконечное множество бесконечных во времени «малых вселенных», подобных той, в которой живем мы сами.
  • Сражаться или спариваться —вот в чем вопрос!
    Если не поступает иной команды, самцы мыши готовы спариваться с кем угодно — с самкой, с другим самцом и даже с самцом-кастратом, в точном соответствии с призывом: «Make love, not war».
  • Картинки мироздания из коллекции палеонтолога
    Что же касается концепции стабилизирующего отбора, то сегодня у подавляющего большинства биологов представление о ней весьма смутное. А уж в учебниках — просто уголовное безобразие: там пишут ровно противоположное тому, что говорил Шмальгаузен.
  • Запрет на клонирование Христа?
    Некая дама спросила у известного физика начала прошлого века, в чем ценность сделанного незадолго до того открытия. На что тот ответил вопросом на вопрос: а в чем ценность рожденного младенца? Никто не может знать, кто вырастет из мальчика, который «маленький с кудрявой головой»…
  • Земной шар: грядет время игр
    Время не милосердно ни к людям, ни к планетам. Через шесть миллиардов лет Солнце превратится в «красного гиганта». Его диаметр неимоверно увеличится. Край Солнца будет почти задевать Землю. Наша планета покроется тягучим, раскаленным месивом. Все на ней будет выжжено дотла. Таким окажется финал земной цивилизации.
  • Берегите голову
    Мозг - это десятки миллиардов нейронов, каждый из которых связан с другими 10-20 тысячами связей, В секунду в мозгу возникает 200 тысяч сигналов. То есть это такая система, которую, наверное, никогда нельзя будет воспроизвести, и все разговоры об искусственном интеллекте носят спекулятивный характер.